Der goldene Faden: Wie Kettenbrüche den Goldenen Schnitt und die Fibonacci-Folge verbinden

Die Mathematik ist voller überraschender Verbindungen. Auf den ersten Blick scheinen Kettenbrüche, der berühmte Goldene Schnitt und die allgegenwärtige Fibonacci-Folge wenig miteinander zu tun zu haben. Doch bei genauerem Hinsehen offenbart sich ein eleganter und tiefer Zusammenhang.

Was ist ein Kettenbruch? Ein kurzes Beispiel

Ein Kettenbruch ist eine Art, eine Zahl als Summe aus ihrem ganzzahligen Teil und dem Kehrwert eines anderen Ausdrucks darzustellen, der wiederum eine Summe aus einem ganzzahligen Teil und einem Kehrwert ist, und so weiter. Ein Beispiel macht es klar.

Nehmen wir die rationale Zahl $\frac{7}{5}$ . Wir können sie wie folgt zerlegen:

\frac{7}{5} = 1 + \frac{2}{5}

Jetzt nehmen wir den Kehrwert des Bruchteils:

\frac{7}{5} = 1 + \frac{1}{\frac{5}{2}}

Und wiederholen den Prozess mit $\frac{5}{2}$ :

\frac{7}{5} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}

Der Prozess endet hier, da der letzte Term eine ganze Zahl ist. Die Folge der ganzen Zahlen $[1, 2, 2]$ ist die Kettenbruchdarstellung von $\frac{7}{5}$ . Für irrationale Zahlen wie $π$ oder $2$ würde dieser Prozess unendlich weitergehen.

Der Goldene Schnitt als unendlicher Kettenbruch

Der Goldene Schnitt, oft mit dem griechischen Buchstaben $ϕ$ (Phi) bezeichnet, ist eine besondere irrationale Zahl. Er ist die einzige positive Lösung der quadratischen Gleichung:

x^{2} - x - 1 = 0

Um seine Kettenbruchentwicklung zu finden, formen wir die Gleichung um. Zuerst isolieren wir $x^{2}$ und teilen dann durch $x$ :

x^{2} = x + 1 ⟹ x = 1 + \frac{1}{x}

Der Ausdruck auf der rechten Seite enthält wieder $x$ . Wir können diesen $x$ -Term rekursiv durch den gesamten Ausdruck $1 + \frac{1}{x}$ ersetzen:

ϕ = 1 + \frac{1}{( 1 + \frac{1}{x} )}

Unendlich oft wiederholt, erhalten wir eine Kettenbruchentwicklung, die nur aus Einsen besteht:

ϕ = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \dots}}}

In der kompakten Schreibweise ist der Goldene Schnitt also einfach $[1; 1, 1, 1, \dots]$ .

Näherung durch Konvergenten

Wenn wir einen unendlichen Kettenbruch an einer Stelle „abschneiden", erhalten wir eine rationale Näherung — einen Konvergenten. Für den Goldenen Schnitt:

C_{0} = [1] = 1

C_{1} = [1; 1] = 2

C_{2} = [1; 1, 1] = \frac{3}{2}

C_{3} = [1; 1, 1, 1] = \frac{5}{3}

Visualisierung der Konvergenten von $ϕ$

Erkennen Sie das Muster in Zählern und Nennern? Es sind die Fibonacci-Zahlen. Um das zu beweisen, brauchen wir eine allgemeine Formel für die Konvergenten.

Herleitung der rekursiven Formel

Sei ein allgemeiner Kettenbruch $[a_{0}; a_{1}, a_{2}, \dots]$ gegeben. Der $n$ -te Konvergent $C_{n} = \frac{p _{n}}{q _{n}}$ hat die Form:

C_{n} = a_{0} + \frac{1}{a _{1} + \frac{1}{⋱ + \frac{1}{a _{n}}}}

Die ersten Konvergenten sind:

$\frac{p _{0}}{q _{0}} = \frac{a _{0}}{1}$
$\frac{p _{1}}{q _{1}} = \frac{a _{1} a _{0} + 1}{a _{1}}$
$\frac{p _{2}}{q _{2}} = \frac{a _{2} p _{1} + p _{0}}{a _{2} q _{1} + q _{0}}$

Dies legt eine allgemeine Rekursion nahe. Per Induktion zeigt man, dass für $n \geq 1$ gilt:

$p_{n} = a_{n} p_{n - 1} + p_{n - 2}$
$q_{n} = a_{n} q_{n - 1} + q_{n - 2}$

Startwerte: $p_{- 1} = 1$ , $q_{- 1} = 0$ , $p_{0} = a_{0}$ , $q_{0} = 1$ .

Beweis der Rekursionsformel (zum Ausklappen)

Wir beweisen per vollständiger Induktion die Formel $C_{n} = \frac{a _{n} p _{n - 1} + p _{n - 2}}{a _{n} q _{n - 1} + q _{n - 2}}$ .

Induktionsanfang ( $n = 1$ ): Laut Definition ist $C_{1} = \frac{a _{1} a _{0} + 1}{a _{1}}$ . Mit den Startwerten $p_{0} = a_{0}, p_{- 1} = 1$ und $q_{0} = 1, q_{- 1} = 0$ : $p_{1} = a_{1} a_{0} + 1$ , $q_{1} = a_{1}$ . Passt.

Induktionsschritt ( $k \to k + 1$ ): Der Konvergent $C_{k + 1}$ entsteht aus $C_{k}$ , indem $a_{k}$ durch $a_{k} + \frac{1}{a _{k + 1}}$ ersetzt wird. Einsetzen in die Induktionsvoraussetzung:

C_{k + 1} = \frac{( a _{k} + \frac{1}{a _{k + 1}} ) p _{k - 1} + p _{k - 2}}{( a _{k} + \frac{1}{a _{k + 1}} ) q _{k - 1} + q _{k - 2}}

Zähler und Nenner mit $a_{k + 1}$ multiplizieren, Terme umordnen und ausklammern — nach IV sind die Klammern genau $p_{k}$ bzw. $q_{k}$ :

C_{k + 1} = \frac{a _{k + 1} p _{k} + p _{k - 1}}{a _{k + 1} q _{k} + q _{k - 1}}

Genau die gesuchte Form. ∎

Die Verbindung zur Fibonacci-Folge

Jetzt haben wir alle Werkzeuge. Für den Goldenen Schnitt ist $a_{n} = 1$ für alle $n \geq 0$ . Die Rekursionen werden zu:

p_{n} = p_{n - 1} + p_{n - 2}, q_{n} = q_{n - 1} + q_{n - 2}

Das ist genau die Definition der Fibonacci-Folge ( $F_{k} = F_{k - 1} + F_{k - 2}$ ).

Die ersten Konvergenten:

$p_{0} = 1, q_{0} = 1$
$p_{1} = 2, q_{1} = 1$
$p_{2} = 3, q_{2} = 2$
$p_{3} = 5, q_{3} = 3$

Verglichen mit der Fibonacci-Folge ( $F_{1} = 1, F_{2} = 1, F_{3} = 2, F_{4} = 3, F_{5} = 5, \dots$ ) ergibt sich:

\frac{p _{n}}{q _{n}} = \frac{F _{n + 2}}{F _{n + 1}}

Die Konvergenten des Goldenen Schnitts sind also die Verhältnisse aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen. Das Verhältnis $\frac{F _{k + 1}}{F _{k}}$ konvergiert gegen $ϕ$ .

Eine schöne Verbindung, die aus einer einfachen quadratischen Gleichung entsteht und drei große mathematische Ideen verwebt.