Fortunes Vermutung —eine Suche über $n=4000$.

Reo Fortune (1905–1979) — Sozialanthropologe, Ehemann von Margaret Mead, Amateurmathematiker — stellte eine Frage über das Primorial $p_n\#=p_1\cdot p_2\cdots p_n$, also das Produkt der ersten $n$ Primzahlen.

Für ein gegebenes $n$ sei $F_n$ die kleinste ganze Zahl $m>1$, für die $p_n\#+m$ prim ist. Diese Zahlen heißen Fortunate-Zahlen.

Fortune beobachtete, dass alle berechneten $F_n$ prim waren, und vermutete: das gilt immer.

Vermutung (Fortune, 1980). Für jedes $n\ge 1$ ist die Fortunate-Zahl $F_n$ eine Primzahl.

Unbewiesen. Es existiert kein bekanntes Gegenbeispiel. Die Vermutung ist eng verwandt mit Schinzels Hypothese H und mit offenen Fragen zur Dichte von Primzahlen in bestimmten Resten modulo Primorialen.

Warum $m>1$ und nicht $m\ge 1$? Weil $p_n\#+1$ und $p_n\#-1$ für jedes $n\ge 2$ durch jede Primzahl $p_i\le p_n$ nicht teilbar sind — aber $m=1$ ist trivial und wird ausgeschlossen, sonst wäre die Vermutung leer.

Die bekannteste öffentliche Suche ist bis etwa $n=3000$ gekommen. Mein Ziel war, diese Grenze zu überschreiten und den Datenstand zu erweitern.

Das Setup — kompakt:

• Primoriale $p_n\#$ werden per Sieb berechnet und inkrementell vorgehalten.
• Primalitätstest: Miller-Rabin, parallelisiert über mehrere Prozesse; GPU-Kernel für die Modularithmetik bei großen $p_n\#$.
• Checkpoint-Datei, damit die Suche nach Abbrüchen am zuletzt verifizierten Index weiterläuft, ohne je ein bereits berechnetes Primorial erneut zu bilden.
• Zwei Ausgabekanäle: ein verbales Log für Lesbarkeit, eine TSV für Auswertung.

Für $n=4034$ hat $p_n\#$ etwa 17.000 Stellen — die Primalitätstests über $p_n\#+m$ sind dementsprechend teuer. Die aktuell größte gefundene Fortunate-Zahl ist $F_{3726}=185,069$. Alle 4034 berechneten Werte sind prim — die Vermutung bleibt intakt.