Ein interaktiver Workshop, um die verborgenen Muster und Geheimnisse des Pascalschen Dreiecks zu entdecken.
Die Schatzkarte der Mathematik
Ein interaktiver Workshop, um die verborgenen Muster und Geheimnisse des Pascalschen Dreiecks zu entdecken.
Das Dreieck zum Leben erwecken
1. Die Zeilensummen: Potenzen von 2
Die erste und offensichtlichste Eigenschaft des Dreiecks ist die Summe seiner Zeilen. Betrachte die Summe der Zahlen in jeder Zeile (beginnend mit Zeile 0).
Welches Muster bilden die Summen der Zeilen (1, 2, 4, 8, 16, ...) und warum entsteht dieses Muster?
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Schau dir an, wie eine Zahl aus der Zeile darüber entsteht. Zu wie vielen Zahlen in der nächsten Zeile trägt jede einzelne Zahl bei?
Die Zeilensumme ist immer 2ⁿ
Die Summe der Zahlen in Zeile n ist 2ⁿ.
Begründung: Jede Zahl im Dreieck ist die Summe der beiden Zahlen direkt darüber. Das bedeutet, dass jede Zahl ihren Wert an zwei Zahlen in der darunterliegenden Zeile "weitergibt". Wenn die Summe einer Zeile S ist, dann ist die Summe der nächsten Zeile 2S, weil jeder Beitrag verdoppelt wird. Da Zeile 0 die Summe 1 (2⁰) hat, hat Zeile 1 die Summe 2 (2¹), Zeile 2 die Summe 4 (2²), und so weiter.
2. Der Binomische Lehrsatz: (a+b)ⁿ
Das Pascalsche Dreieck ist der "Spickzettel" für das Ausmultiplizieren von Binomen wie (a+b)ⁿ.
Beispiel: (a+b)² = 1a² + 2ab + 1b². Die Koeffizienten 1, 2, 1 sind genau die 2. Zeile des Dreiecks.
Erkläre mit dem Dreieck, warum die Koeffizienten von (a+b)⁵ genau 1, 5, 10, 10, 5, 1 sein müssen. Wie entsteht diese Zeile aus der Zeile für (a+b)⁴?
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Schreibe (a+b)⁵ als (a+b) * (a+b)⁴. Die Koeffizienten für (a+b)⁴ sind 1, 4, 6, 4, 1. Multipliziere nun a * (...) und b * (...) und schau, wie die Terme zusammengefasst werden.
Rekursive Herleitung
Wir wissen, dass (a+b)⁴ = 1a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + 1b⁴.
Um (a+b)⁵ zu erhalten, rechnen wir (a+b) * (a+b)⁴:
Die neuen Koeffizienten entstehen durch die Addition benachbarter Koeffizienten der vorherigen Zeile – genau wie im Pascalschen Dreieck!
3. Kombinationen: "n über k"
Die vielleicht wichtigste Anwendung in der Kombinatorik: Der Eintrag in der n-ten Zeile an der k-ten Stelle (beide ab 0 gezählt) ist die Anzahl der Möglichkeiten, k Elemente aus einer Menge von n Elementen auszuwählen. Dies nennt man den Binomialkoeffizienten C(n, k) oder "n über k".
Warum gilt diese Regel? Erkläre anhand eines Beispiels, warum C(5, 3) = C(4, 2) + C(4, 3) sein muss, und wie dies die Additionsregel des Dreiecks widerspiegelt.
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Stell dir 5 Leute vor. Du willst ein Team von 3 Leuten bilden. Nimm eine Person heraus, z.B. Anna. Jetzt überlege: Wie viele Teams gibt es MIT Anna? Und wie viele Teams gibt es OHNE Anna?
Pascals Identität
Wir wollen C(5, 3), also 3 Leute aus 5 auswählen. Wir konzentrieren uns auf eine Person, Anna.
Fall 1: Das Team ist MIT Anna.
Wenn Anna im Team ist, müssen wir noch 2 weitere Mitglieder aus den verbleibenden 4 Leuten auswählen. Dafür gibt es C(4, 2) Möglichkeiten.
Fall 2: Das Team ist OHNE Anna.
Wenn Anna nicht im Team ist, müssen wir alle 3 Mitglieder aus den verbleibenden 4 Leuten auswählen. Dafür gibt es C(4, 3) Möglichkeiten.
Da dies die einzigen beiden Fälle sind, ist die Gesamtzahl der Möglichkeiten die Summe der beiden Fälle:
C(5, 3) = C(4, 2) + C(4, 3).
Diese Formel, C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k), ist genau die Additionsregel, mit der das Pascalsche Dreieck aufgebaut ist!
4. Der Hockeyschläger & Figürliche Zahlen
Eine der elegantesten visuellen Regeln im Dreieck. Addiert man die Zahlen entlang einer Diagonalen (beginnend bei einer 1 am Rand), so ist die Summe genau die Zahl, die schräg unter dem Ende der Diagonale steht. Das Muster sieht aus wie ein Hockeyschläger.
Die Hockeyschläger-Regel
Warum funktioniert diese Regel immer? Zum Beispiel: 1+3+6 = 10. In der Sprache der Kombinationen: C(2,2)+C(3,2)+C(4,2) = C(5,3). Wie kann man das beweisen?
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Benutze die Additionsregel C(n,k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k). Beginne mit der ersten '1' des Schlägerstiels, die ja auch als C(k+1, k) geschrieben werden kann. Setze sie geschickt ein und beobachte, wie sich die Terme "auffressen".
Beweis durch Kaskadierung
Wir beweisen es am Beispiel 1+3+6=10 bzw. C(2,2)+C(3,2)+C(4,2) = C(5,3).
Wir starten mit der ersten 1, also C(2,2). Der Trick ist, C(2,2) als C(3,3) zu schreiben (beides ist 1).
Unsere Summe ist also: C(3,3) + C(3,2) + C(4,2)
Nach Pascals Identität ist C(3,3) + C(3,2) = C(4,3).
Unsere Summe wird zu: C(4,3) + C(4,2)
Wieder mit Pascals Identität: C(4,3) + C(4,2) = C(5,3).
Das funktioniert immer! Die "Ersatz-Eins" am Anfang startet eine Kettenreaktion, die die Diagonale entlang läuft.
Anwendung: Dreiecks- und Tetraederzahlen
Mit der Hockeyschläger-Regel können wir nun die Diagonalen selbst verstehen.
Welchen berühmten Zahlenfolgen entsprechen die Diagonalen C(n, 1) und C(n, 2)?
Dreiecks- und Tetraederzahlen
Dreieckszahlen (Diagonale C(n,2)):
Die Diagonale 1, 3, 6, 10, ... enthält die Dreieckszahlen. Eine Dreieckszahl Tₖ ist die Summe der ersten k natürlichen Zahlen (1+2+...+k).
Der Hockeyschläger zeigt, warum: Die Summe der natürlichen Zahlen (Diagonale C(n,1)) ergibt die nächste Zahl auf der Diagonale C(n,2). Beispiel: 1+2+3+4 = 10, also C(1,1)+C(2,1)+C(3,1)+C(4,1) = C(5,2).
Tetraederzahlen (Diagonale C(n,3)):
Die Diagonale 1, 4, 10, 20, ... enthält die Tetraederzahlen. Eine Tetraederzahl ist die Summe der ersten k Dreieckszahlen. Auch das folgt direkt aus der Hockeyschläger-Regel!
5. Die versteckte Fibonacci-Folge
Die berühmte Fibonacci-Folge, bei der jede Zahl die Summe der beiden vorhergehenden ist (1, 1, 2, 3, 5, 8, ...), versteckt sich ebenfalls im Dreieck.
Kannst du die Fibonacci-Zahlen finden? Man muss die Zahlen anders addieren als bisher.
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Versuche, Zahlen entlang von "flachen" Diagonalen zu addieren. Starte bei einer 1 am Rand und gehe einen Schritt nach unten und einen nach links.
Summe der flachen Diagonalen
Addiert man die Zahlen entlang der flachen Diagonalen, wie im Canvas gezeigt, erhält man die Fibonacci-Zahlen.
Summe 1: C(0,0) = 1
Summe 2: C(1,0) = 1
Summe 3: C(2,0) + C(1,1) = 1+1 = 2
Summe 4: C(3,0) + C(2,1) = 1+2 = 3
Summe 5: C(4,0) + C(3,1) + C(2,2) = 1+3+1 = 5
Summe 6: C(5,0) + C(4,1) + C(3,2) = 1+4+3 = 8
Der Grund dafür ist ebenfalls eine rekursive Beziehung, die der Fibonacci-Definition F(n) = F(n-1) + F(n-2) ähnelt.
6. Zufallswege & das Galtonbrett
Teil I: Der Zufallsweg (Random Walk)
Stell dir eine Figur vor, die auf einer Linie steht. Bei jedem Zeitschritt macht sie mit gleicher Wahrscheinlichkeit einen Schritt nach links oder einen Schritt nach rechts. Diesen Prozess nennt man einen 1D-Zufallsweg oder "Irrweg". Die folgende Animation zeigt einen solchen Weg über 50 Schritte. Die horizontale Achse ist die Zeit, die vertikale Achse ist die Position.
Teil II: Die Verbindung zum Zählen
Nachdem wir gesehen haben, wie ein einzelner Weg aussieht, stellt sich eine kombinatorische Frage: Wie viele verschiedene Wege gibt es, um nach einer bestimmten Anzahl von Schritten an einer bestimmten Position zu landen?
Wie viele verschiedene Wege gibt es, um nach n Schritten an Position p zu sein? Und wie hängt das mit der Anzahl der Wege zusammen, die zu den Positionen im Schritt n-1 geführt haben?
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Um in Schritt n an Position p zu gelangen, muss die Figur im Schritt n-1 entweder an Position p-1 (und einen Schritt nach rechts gemacht haben) oder an Position p+1 (und einen Schritt nach links gemacht haben) gewesen sein.
Die Wege addieren sich wie im Dreieck
Die Anzahl der Wege zu einer bestimmten Position (n, p) ist die Summe der Anzahl der Wege zu den beiden möglichen Vorgängerpositionen!
Sei W(n, p) die Anzahl der Wege zu Position p nach n Schritten. Dann gilt:
W(n, p) = W(n-1, p-1) + W(n-1, p+1)
Das ist exakt die Additionsregel des Pascalschen Dreiecks, nur leicht "geneigt" dargestellt. Die Anzahl der Wege, die zu den verschiedenen Positionen führen, bildet die Zahlen des Pascalschen Dreiecks!
Teil III: Das Galtonbrett – Tausende Wege auf einmal
Das Galtonbrett ist eine geniale Maschine, die genau diesen Prozess für Tausende von "Wegen" (Kugeln) gleichzeitig simuliert. Jede Kugel führt ihren eigenen Zufallsweg durch das Nagelbrett aus.
Basierend auf der Erkenntnis aus Teil II, welche Verteilung erwartest du für die Kugeln in den Fächern, nachdem sehr viele Kugeln gefallen sind?