Die Magie der Folgen
Ein Workshop über Newtons Differenzenrechnung, um die verborgenen Formeln hinter Zahlenfolgen zu enthüllen.
1. Die Methode: Das Differenzendreieck
Viele Zahlenfolgen folgen einem "versteckten" polynomialen Bildungsgesetz. Die Differenzenrechnung ist ein mächtiges Werkzeug, um dieses Gesetz zu finden. Die Idee ist einfach: Wir bilden wiederholt die Differenzen zwischen benachbarten Folgengliedern, bis wir auf eine konstante Reihe stoßen.
Interaktiver Differenzen-Rechner
Lass uns die Formel für die Folge der Kubikzahlen f(n) = n³ finden: 0, 1, 8, 27, 64, ...
Wende die Methode nun selbst an! Nimm dir Zettel und Stift und finde die Formel für die folgenden Sequenzen. Differenzendreieck: Führende Diagonale: (3, 3, 2). Formel: f(n) = 3·C(n,0) + 3·C(n,1) + 2·C(n,2). (Für n=0, 1, 2,...). Das ist das Polynom n² + 2n + 3. Differenzendreieck: Führende Diagonale: (-1, 1, 4, 6). Formel: f(n) = -1·C(n,0) + 1·C(n,1) + 4·C(n,2) + 6·C(n,3). (Für n=0, 1, 2,...). Das ist das Polynom n³ - 2n² + 2n - 1.2. Übung macht den Meister
Aufgabe 1: 3, 6, 11, 18, 27, ...
Lösung anzeigen
3 6 11 18 27
3 5 7 9
2 2 2
Aufgabe 2: -1, 0, 5, 20, 51, 104, ...
Lösung anzeigen
-1 0 5 20 51 104
1 5 15 31 53
4 10 16 22
6 6 6
Ihr erinnert euch an das Problem: Man wählt n Punkte auf dem Rand eines Kreises und verbindet jeden Punkt mit jedem anderen. In wie viele einzelne Gebiete wird der Kreis dadurch maximal zerteilt? Punkte: 4 | Gebiete: 8 Die Folge für die Anzahl der Gebiete A(n) beginnt mit n=1: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, ... Die einfache Regel "Verdoppeln" scheitert bei n=6. Aber vielleicht steckt ein Polynom dahinter? Lasst uns die Differenzenrechnung auf diese Folge anwenden!3. Anwendung: Das Kreiszerteilungsproblem
Die Herausforderung
Interaktive Kreiszerteilung
Die Formel finden
Differenzen-Rechner für das Kreisproblem